內心賽局理論
丁明
摘要：
有很多的理論都說明人類內心都有多重的偏好(自我(selves)、慾望(drives)、代理人(agents))，這樣的矛盾必須被解決才能達成決策。即便是這些理論的多樣，這些理論並沒有被整合進管理的主流因為它們是質化研究。在這篇論文中，作者提出一個內心賽局理論去填滿這個重要的鴻溝。根據社會福利的文獻和標準的(多人)賽局。TIC定義了兩種內心玩家，一個是效率代理人(efficiency agent)，另一個是公平代理人(equity agent)。效率代理人著重極大化所有內心的驅力的集合；公平代理人則是努力讓所有的想法能達到平衡。TIG模型說明了個人的決策就是公平代理人和效率代理人內心決策互動的結果。因此，標準的消費者效用理論即是一個TIG模型的特別案例如果忽略公平代理人的話。TIG理論提供了一個被定義成類似多人賽局的數學機制。因為是一個量化理論，TIG可以應用在很多跨領域的原則中，其中管理科學有包含在其中，但也不限制在管理科學的領域裡。作者展示了一個多樣尋找行為化的應用和刻板的變化尋找是一個內心賽局的混合策略均衡。關鍵理論的內涵隨即被一個驗徵型研究所驗證。

本文：
｢天使站在肩膀的一邊，而惡魔站在另外一邊。｣是一個熟悉的美國俗諺，
表達了人們或有或無經歷的矛盾的時刻。這句俗諺也重新計算了一個人陷入了兩種極端矛盾的偏好的極度痛苦(天使在一邊的肩膀告訴他如何做，惡魔又在另外一邊告訴他要做相反的事)。
這個俗諺被一個學的學派所舉例，強調跨領域皆假定有多重內心偏好(不
同文獻中稱做自我，慾望和代理人)存在每一個人中，這些人的衝突矛盾必須被解決直到一個人做決定。這樣的想法從Sigmund(1923)的結構理論開始，也同時包含了Carl Jung(1959)的非清醒和個人理論、Erik Eriksons’(1968,1970)階段概念，Henry Murray 的需求理論(見Shneidman 1981)，Charles Brenner(1982)的矛盾心理理論，Marvin Minsky(1986)的心中的社會，還有(Ajzen和 Fishbein1975,1980)。
即使上述文獻效度強烈，這些理論絕大多數都是質化研究。在我最能理解的範圍中，沒有一般性的量化研究是研究個體多重內心決策結果的。缺乏嚴謹架構限制了這些(質化研究)的描述性和預測性的能力，可以從至少兩個理由來說明：1.質化研究處理一些複雜的情形並不特別有力，並且不行提供具體的意涵。2.質化研究當成量化研究研究個體決策制定(譬如經濟、管理科學)的基石是非常的貧乏的。如果沒有一個多重自我質化研究的框架，管理科學僅僅假設人們內心只受一個自我所掌控。(譬如效用函數)
此篇文章提出一個一般性的框架去填滿這個重要的缺口，依據下面的方式：用發展中(The state-of-the-art)量化方法去模型化多重內心賽局的策略互動。如果多重自我(在每個人之內的)的角色可以被正式化的去描述它們的相似性，(例如報酬，行動，知識、信念等等)這些是可以定義一個多重內心賽局的玩家的人格特性的話，那麼發展一個多重人格賽局去捕捉個體決策制定就變得可能。因此，我提出TIG去展現人們的多重自我的策略互動。
為了能夠展示這個新理論的效用，我為了人們的多樣化搜尋行為執行了這個TIG模型。多樣化搜尋其實就是消費者喜歡嘗試多樣化的商品或服務的傾向(Kahn 1995, p.139)和典型的在眾多選擇中換來換去都是。在多重自我的內容中，近似TIG模型把理論化模型的隨機多樣化搜尋在賽局中當作一個均衡。TIG也辨識了特定的情形，譬如當一個消費者尋求多樣化(seeks variety)而後驗證這些情形。
本文內容組織如下：1.多重自我的重要文獻，2.TIG模型，3.尋求多樣化(variety-seeking)行為的應用，4.未來研究的討論和方向。
相關文獻
形塑個人決策作為一個內心賽局只有在理論與實證上都能滿足兩個前提時才有意義。首先，多重自我必須存在人心靈中之內，而且他們的互動必須能夠變成可觀察的個人行為。其次，至少一些自我必須能夠選擇改善他們自己功用與（可能地）達到均衡的策略。第一個前提提供了內心賽局必需的環境，因為根據定義，任何賽局需要一個以上的參與者。第二個前提應在賽局理論架構下，研究人們的行為。因為標準的賽局理論在那些參與者才智不足以規劃長期有益策略的情況下，有較少描述性與規定性的效用。
多重自我與個人決策
這兩派學說文獻假設人們的內心構成多重自我，但每種學說皆有其特點。心理學與精神病學的研究試圖瞭解人們的決策，並提供描述性與規定性的解答；反之，人工智慧（AI）的研究調查人類內心的構造，以得到其機械智慧的成果。在這裡，我將提出第一股思潮的結構理論（Freud 1923）與第二股思潮的內心社會（Minsky 1986），來作為內心賽局理論的基礎。
許多心理學與精神病學理論支持每個人都擁有多重且常常衝突的自我（或偏好），人們必須解決這些衝突才能做出決定之論點。許多著名的學者，像Anna Freud（1936）、Fenichel（1941）、Hartmann 與Kris（1945）、Hartmann、Kris與Loewenstein（1946,1949）與Brenner（1975,1982）都已經將佛洛依德（1923,1926）具影響力的結構理論加以擴大。佛洛依德在（1923）「自我與本我」的一書中提出心靈三個主要的功能中心。本我（id）代表本能的慾望，主要是生物性的而且存在於潛意識中，其行為是本能的、原始的、以自我為中心的，還有反社會。佛洛依德也發現兩個與本我相關的慾望，也就是性愛與攻擊性－儘管後續的著作假設任何特定的人皆有不同的慾望衍生物（Brenner 1982）－而這些慾望的目的主要滿足在某一特定時間的個人感受，無關真實性。超我（Superego）是由許多道德規範構成，能使人們判斷什麼是對與錯，人們在這裡扮演一個監督者或批判者的角色。一些人會把超我視為道德觀念，因為它表現了自我審判、自我處罰與完美的志向，超我通常在潛意識中產生作用。雖然超我受到強調個人的文化社會標準強大的影響，但它並不是這些標準的內在反應，而是個人在本能，代表個人將其他重要人物的理想與標準內化。基本上，這些要求源自於超我與本我間的衝突。最後，自我（ego）調和內在與外在的環境，並根據現實重要性的評估基礎，安撫自我的慾望與超我的理想志向（Brenner 1982）。因此，自我或許可以視為個人本身的自我；它能透過與重要人物的互動來學習，藉此獲得對抗不同情況的方法。自我會經歷適應、調和與融入等一連串無止盡的過程，所以每個人會發展出一套屬於他的或她的自我協調規範，來回應內在與外在的壓力。
類似的想法也出現在人工智慧(AI)的範疇內。雖然這個領域仍在持續發展，人工智慧奠基者之一的Minsky(1986)在內心的社會一書中卻已指出，內心不是個別的實體，而是由許多迷你內心組成的（這些他稱做代理人）。每個代理人都有其特定與受限的角色，個人可以從這些代理人的互動中觀察到智慧。Minsky提出一個科層結構，在某一特定情況下，較高層級的代理人會選擇個人所使用的較低層級的代理人。然而，Minsky並未區分那些代理人的角色，或者指出較高階層的代理人如何做出選擇，他只確定這些都會出現在一個科層結構上。因此，他的理論無法提供建構智慧性的個人決策之量化模式特定架構。
雖然兩派學說都是質化的，但它們關於多重自我的存在，與這些自我內的互動做成決策的論述，十分令人信服。因此，雖然沒有理論提供一個量化的架構來捕捉若干互動，但它們提供內心賽局一個建構的基礎，特別是本文所提出的內心賽局理論包括了三個結構理論中的特殊自我類型(本我、自我與超我)，以及Minsky理論裏關於科層關係中的代理人概念。
確認均衡策略的能力
每個人都有多重自我的概念，是必要的，但卻還不是一個可以形塑個人決策賽局理論的足夠條件。也就是說，如果多重自我無法規劃出改善個人自我效用的策略，並達到均衡的結果，內心賽局理論能提供很少的描述性或規定性效用。在精神病學與人工智慧的理論建構上，大部分獨立的自我／代理人擁有有限的智慧或無智慧、無法管理複雜的想法（比方，回溯歸納法），而這正是傳統賽局理論所需的。然而，這兩種研究思潮同時指出，自我或許能夠確定較佳的策略與均衡的結果。根據演化論（Darwin 1859）與其後續理論－演化賽局理論（Maynard Smith 1982）與演化心理學（Buss 1999），一個本質上不具智慧的實體也能確定較佳的策略。在其他的研究思潮指出，若干策略能夠靠著學習基本的智慧而成功（Fudenberg 與Levine 1998）。
進化論指出，想達成一個「完美的」結果只有兩個必需要素：突變(mutation)與篩選。即使不具智慧，隨機突變聯合強大的篩選壓力也會導致表面理性的進化結果。其後衍生的進化賽局理論（Maynard Smith 1982；Weibull 1995）強調的是多人賽局需要參與者的無智慧（這裡與傳統賽局理論常被揶揄的超理性假設不同）來確定均衡策略。相同的論點也運用在內心賽局上，因為不同自我的策略變化極大，而且強大的篩選壓力會促成個人決策最佳可能性的結果。例如某人選擇次佳策略來滿足其抽脂的慾望，但這並不代表可以保持苗條或或利用類似的策略產生相同的結果。相似的想法支配了進化心理學的發展（Buss 1999；Tobby與 Cosmides 1992）。
根據學習法則（Fudenberg與Levine 1998），個人接受提供較佳福利策略的能力或許與簡單學習運用基本的智慧同時存在（比方反射）。因此，人們或許可以在長期間達到複雜的均衡。舉例來說，簡單的最佳反應策略在常見的Cournot 賽局中（比方參與者選擇一個觀察前一時期歷史後的最佳回應策略）或許會達到Nash均衡（Fudenberg與Levine 1998）。這個證實是與心理學理論一致；比方說，結構理論便假設，自我發展與學習需要透過很多年的重複行為才能完成。
因此，這些研究思潮強烈認為，至少有若干自我有能力確認較佳的策略，甚至在長時間後還有可能以很少（或沒有）智慧達到均衡的結果。因此，我認為將個人決策看作內心賽局的結果是適宜的。
近來，經濟學家們已經開始在特殊偏好結構之外，以擴大概念化方式來明確地將個人決策模式化。Fudenberg與Levine（2006）發展一個雙重自我的模式（參閱 Bernheim與 Rangel 2004），也就是由一個長期，患者本身；與一個短期的，衝動的自我組成。這個方法於文中代表了內心賽局理論計畫明確的執行。
TIG模型
TIG模型由兩個成分組成：其一為多重自我的新概念，此架構經得起賽局理論檢驗；其二為特定的數學轉換模型，使多重自我之間的互動能夠被視為賽局。本研究在理論之後，將提供簡短的討論，探討在不同規則下TIG模型可能應用範圍。
多重自我（Multiple selves）的概念性架構
文獻中有許多討論多重自我的篇章，然而實際上，沒有一篇能精確地定義多重自我之間的互動關係，進而發展出數量化的模型。因此我提出一個概念化的模型，此模型相當一般化，足以捕捉多重自我的精華，而不與任何相關理論重複；且此模型更進一步包含了每個自我的確切角色以及自我之間的關係。此架構提供一個一般化的基礎，使持有不同理論的學者，在對於多重自我有著不同的定義之下，都能將個人決策制定視為個人內心賽局(intraperson game)。為能與現有文獻作直覺性的連接，將討論TIG模型與結構理論和內心社會(society-of-minds)理論的關聯性。
此架構的摘要如下（1）心中每一個獨特的「我」為一代理人agent（2）所有代理人可分成四種類型（3）每種類型的代理人擁有相同特徵（4）代理人之間的互動關係取決於這些代理人的類型，但並非特定代理人有特定性質。雖然精神病學不易將行動視為心中一個獨特的「我」；人工智慧的研究將偏好和行動視為一個獨特的「我」；Minsky(1986)稱所有”行動”為代理人，例如，他認為建構基礎的行動為建構基礎的代理人。跟隨著此慣例，我在新的架構中定義所有獨特的「我」為代理人，使之能包含各種多重自我的解釋。
然而，Minsky沒有指出代理人之間的特定關係，且精神病學區分本我、自我、超我時，也並未提到三者之間的確切關係。因此我歸類現有文獻，分為兩個階層，發展出四種特殊類型的代理人。以賽局的架構來看，高階層中的代理人為參與者，低階層的代理人為高階層代理人可選擇的策略(strategy)。表一對照出不同代理人的特徵。
TIG模型中，兩種低階層的代理人：行為（behavioral）代理人和身分（identity）代理人。行為代理人為一個人可能採取的行動，代表心中負責採取特定行動的「我」；精神病學的理論中僅將這種行為代理人視為一般的行動。根據文獻，我認為行為代理人本身沒有效用的觀念，而反映行動的模式就如一般賽局理論所述。
身分代理人由個人的獨特偏好所組成。在結構理論中，本我的本能慾望相當於超我的規則標準。因此，一肩上的天使和另一肩上的魔鬼可視為兩個對比的身分代理人。俗語說「今朝有酒今朝醉」，這種態度也可視為身分代理人的一種。每位身分代理人有著各自的效用函數，且利用效用來表達個人偏好。身分代理人不存在於一般賽局理論中，一般賽局假設每個人只存在單一身份。
TIG模型中，兩種高階層的代理人：效率（efficiency）代理人（控制行為）及公平（equity）代理人（控制身分）。此結構以社會福利的相關文獻為基礎，其中討論效率和公平恆存在抵換關係(trade-off)。以計畫者的觀點來看，（例如：將社會上所有個人的效用加總來達到社會福利極大化）不足以保證能達成有效率的分配；然而福利的公平分配仍可能存在於少部分人之中。實際社會政策的制定，經常是妥協效率與公平所產生的結果。
若一個人擁有多重自我，他在做決策時，必定會面臨效率和公平之間的取捨。也就是說，一個人在做決策時，雖嘗試著要做使各方面變好的決策（效率），但人們會無意識地確保自己享有同等的主導權（公平），即使這代表著整體效用較低。（例如：減肥時，常見而容易成功的方法是，一星期中放縱一天吃零食）
效率代理人是作有意識選擇的「我」，做出來的選擇在給定的情境下，供行為代理人使用，這個概念相當於結構理論中，自我的決策規則（coping method）。又因為效率代理人會考慮所有身分代理人的整體效用，他的目標為使身分代理人的總效用極大。在TIG的內容中，效率代理人代表賽局的參與者players，行為代理人為可選擇的策略strategy。效率代理人存在於大腦有意識的階層，且能做複雜的思考，如同一般賽局理論對於參與者的假設，因此將之設定為參與者。
相對地，公平代理人選擇每個身分代理人可使用的策略，對應於結構理論中，自我的所有其他部分。身分代理人的運作可喻為”people wearing different hats”（換了一個身分就換一個腦袋?），同一時點，不同身分會作出不同的行為，行為會跟著身分改變。在TIG中，身分代理人表許多不同身分（hats），而公平代理人在不同情境下，有意識或無意識地選擇不同的身分代理人（hat）。不同於效率代理人，公平代理人致力於效用在不同身分代理人之間如何分配，他的報償payoff相似於每個身分代理人是否擁有平等機會被選取。TIG中，公平代理人也為賽局的參與者players，身分代理人為其策略strategy，公平代理人的目標是在一時點下，選擇一個特定的身分代理人，來代表這個人；並確保在長期之下，每個身分代理人被選取到的機會相等。公平代理人的運作同時存在於大腦有意識和無意識的階層，但公平代理人不具有複雜思考的能力。因此，一般的賽局理論不包含公平代理人，在某些案例中，更被視為非理性的行為。
內心賽局理論的正式說明
依照前述觀念架構，說明在TIG應用中必要的數學公式，以便在賽局分析中能加以驗證。在標準的多人賽局理論中，通常包括三個成分(Fudenberg and Tirole 1991)：有限的人數、每位參與者之純粹策略及每項聯合策略之報酬。混合策略(mixed strategy)代表純粹策略下之機率分配及實質上隨機取樣幾項純粹策略。為符合傳統賽局理論，內心賽局被定義為標準形式及具理論基礎之適當數學公式下，每個成分都能符合TIG之定義要求。最後將討論TIG的均衡觀念與存在。
定義一：TIG的成員有兩類：效率代理人與公平代理人。
效率代理人之純粹策略與標準的賽局理論相同，是行為代理人(一個人在賽局中可能採取的行動)。公平代理人之純粹策略是各種有意識或無意識下可能選擇之身份代理人。在假設之TIG下，純粹策略的公平代理人可能包含來自於超我與本我的身份代理人(有可能他們是本我的慾望衍生)。Benabou and Tirole (2004)以類似的方法讓個人決策者在一個「無意志力」的選項以及「依靠意志力」的選項中作抉擇。雖然他們並沒有明確地定義公平代理人的角色，但這類似於在TIG裡，公平代理人在兩個身份代理人中作選擇。
定義二：效率代理人的純粹策略是所有相關的行為代理人，公式為 ；公平代理人的純粹策略是所有相關的身份代理人，公式為 。
多人間賽局理論的混合策略顯示出純粹策略的機率分配。但在TIG中，混合策略必需依效率代理人與公平代理人分別考量。對效率代理人來說，混合策略是在眾多可能的純粹策略中一個簡單的隨機選擇，與多人間賽局理論一樣。就公平代理人而言，混合策略意指在特定時間點下，公平代理人的身份代理人選擇不具決定性。原創的Freud’s (1923) 與愈來愈多學者如 Brenner，都支持這項論點。心理學理論中，本我和超我在每任一決策情境中都是互相對抗。因此，本我的慾望與超我的規則在不同的情境下各有輸贏。如果一個人總是聽從內心本我的慾望，來自於超我焦慮與憂鬱愈來愈強，將減少下回聽從本我作決策的機率。相反地，若聽從超我作決策，本我不高興感愈來愈強，而減少下回聽從超我作決策的機率。因此在特定機會作身份代理人的選擇是很少具決定性的。防護(超我)與慾望滿足(本我)之間是平衡是保持彈性的(Brenner 1982).這個論點也有例外情形，總是順從本能慾望是臨床疾病的定義。總是聽從超我的人，將變得嚴格、擾人與強迫。然而大多數的人是介於兩者之間。
定義三：效率代理人的混合策略公式是在Sb底下之機率分配，公式為 ;公平代理人的混合策略公式是在Si底下之機率分配，公式為
效率代理人的報酬與Von Neumann–Morgenstern utility類似，但公平代理人的報酬就較為複雜。在社會福利學的文獻中，容易定義何謂效率。但公平的真正定義目前尚無一致的共識。因此除了在TIC中受限特定的效率代理人公式外，公平代理人的報酬較寬鬆地定義成每個身份代理人之效用及其產出之機率。TIG的應用能釐清與即將到來的問題一致的特定公式。(如下一節要介紹的尋求多樣化行為)。
定義四：四種類型代理人的報酬定義如下
a. 行為代理人沒有報酬
b. 如果公平代理人沒有選擇m這個身份代理人，則此身份代理人之報酬為0。如果公平代理人有選擇m這個身份代理人，且效率代理人的策略是S ，則此身份代理人之報酬為um(S )。
c. 效率代理人的報酬是所有身份代理人效用之和，也就是
d. 公平代理人的報酬是每個身份代理人報酬及其每個產出機率之函數。
為完成TIG的詳盡說明，本人強調均衡觀念及達到均衡之過程演變。許多探討均衡的不同觀念(如Nash的動態均衡)存在於標準的賽局理論，但是我不嘗試在最適合TIG的均衡觀念中有其他立場。以本文的目的，我使用Nash均衡觀念並從Nash(1950)的理論導出以下主張，讓任何正常形式出現的有限賽局至少有一均衡解(包含混合策略)：
主張一：在TIG中，至少有一Nash均衡解，在混合策略中亦同。
TIG兩位成員，效率代理人與公平代理人以不同方式運作。在意識層級中，效率代理人適當地引導複雜的思考與參與別人的策略。也就是說他們理性的行為符合標準的賽局理論。在無意識層級中(較為多數)，公平代理人支配極少的策略思考能力。沒有特定的結構下，我只能說公平代理人從本文後續討論的三項機制中，發展了一個較好的策略。
主張二：
A. 效率代理人利用策略思考能導引出最適策略，與標準賽局理論假設相同。
B. 從以下三個機制中，公平代理人發展了一個較好的策略。
I. 策略思考，與標準賽局理論假設相同
II. 簡單的啟發，與賽局的學習理論相同。
III. 突變與選擇，與進化之賽局理論相同。
TIG的應用
許多學科從TIG中獲利，如心理學，藥學，人工智慧，經濟學與行銷學。表二提出一些立即能從TIG中獲利的例子。以行銷學為例，消費者幾乎無例外地假設成單一效用函數及效用極大化的客觀事實。此外,TIG主張個人決策成果反映出效率代理人(存在於行銷學文獻)與公平代理人(不存在於行銷學文獻)之折衷辦法。這新的觀點能更清楚消費者如何決定新產品之採用。譬如消費者可能買新產品以滿足他們其中一個身份代理人，即使對消費者而言，整體效用是減少的。這也告訴廣告商如何設計廣告以對準效率與公平代理人之互動關係，以期能加強消費者對廣告所傳達訊息之接受度。為顯示TIG的效用，下一節我將引用一個在行銷學中相似的主題：尋求多樣化行為的精簡模型(parsimonious model)。
TIG的應用
尋求多樣化行為(Variety-seeking behavior)長久以來傳統行銷領域中的是一個重要主題(例如Bass,1974…)，尋求多樣化行為是被個人內部因素與偏好不確定所驅使的。現今文獻考慮三種個人內部因素：飽足(satiation)、刺激(stimulation)和避險(hedging)，實證觀察值也顯示出stochastic(隨機)的特性。
我用一個為尋求多樣化行為發展的小型TIG模型來說明TIG的效用,此模型提供準確預測判斷是否消費者會尋求多樣性。這理論觀察力的結果提供了方針去管理注意哪些的行為應該去鼓勵或不鼓勵尋求多樣化。
理論模型
為了去發展一個為尋求多樣化的特定TIG模型,我做了一些假設,尤其是以下這些項目 (1)玩家的數目，與每一個玩家的策略數目 (2)每一個玩家的報酬 (3)一個公平代理人如何辨認一個更好的策略(4)動態結構的賽局與移動的序列。尋找多樣性的行為是透過在兩種或更多選擇之間的交替的選擇，例如一道午餐副菜(可口的漢堡或者健康的沙拉)或者一杯飲料(咖啡，汁或者水)的選擇。 雖然現有的多樣性搜尋的文獻中經常包括很多選擇，為了去獲得TIG的準確的試驗，我用只兩種選擇集中於一種選擇情勢。在大多數這樣的情況，在兩位身分代理人(identity agent)之間的一個個人經驗衝突裡；例如，在午餐選擇裡，消費者必須在對肥胖的(身分代理人A)的渴望和對健康的渴望(身分代理B)之間選擇。
假設1：一個效率代理人有兩個純粹策略， ，一個公平代理人有兩個純粹策略 。效率代理人的混合策略是， ，公平代理人的混合策略是， 。
雖然它只廣泛的定義公平代理人(equity agent)報酬，但是身分和效率代理人(identity and efficiency agents)的報酬是他們被在一般的TIG裡定義。因此，我為在尋求多樣化的內文的公平代理人關於報酬做具體的假設。
在尋求多樣化的實證文章說明決策取決於過去每個選項多常被選擇，且建議成一個U型關係。因此，公平代理人(equity agent)根據每位身分代理人(identity agent)多常被選擇來改變他們的策略，而不是多少每一位身分代理人會達到多少效用，類似與衝突管理有關的精神病學的理論。在Brenner有影響力書內”The mind in conflict”宣稱，無論慾望導致或超我規則，主宰在一個給定時間內，取決於之前多經常被滿足。因此，我為尋求多樣化的公平代理人提出下列公式：
假設 2：在尋求多樣化時的報酬如下所示：
a. 如果公平代理人沒有選擇m這個身份代理人，則此身份代理人之報酬為0。如果公平代理人選擇了m這個身份代理人，且效率代理人的策略是S ，則此身份代理人之報酬為um(S ) （下面縮寫為umn）。
b. 效率代理人的報酬是兩個身份代理人期待效益的總和，
(1) ub (σb, σi, u11, u12, u21, u22)
= σb σi u11 +σb (1－σi) u21
+ (1－σb) σi u12
+ (1－σb)(1－σi)u22
c. 公平代理人的報酬為
ui(σb, σi) = f (σb, σi) 及

特別的是，假設一個二次齊次方程：
(2) ui (σb, σi) = －(σi－qσb－p)2+c
二次式在行銷文章上長期傳統使用(Lilien，Kotler 和Moorthy 1992)。上述的二次式允許一位公平代理人有一個內部最佳的混合策略解(0，1之間)，但是它不能消除邊界解(=0或者=1)。在這種具體的情況裡，”內部均衡”表明公平代理人(equity agent)更喜歡兩個身分代理人(identity agent)都獲得一些效用。P、q是與二次式共相關，而c是一個常數，與解無關。 在這情況，如果每次都同一個身分代理人和行為代理人被選擇，p是與公平代理人將收到的基礎效用有關，並且q與效率代理人策略將在公平代理人效用上影響的大小有關。
一般的TIG建議一位公平代理人能採用鑑定一個更好的策略的3個可能的機制。给一個特別尋求多樣化的文章，公平代理人很可能使用探索法(即，學習論)確定它的策略。我提議公平代理人將使用最佳回應啟發式(best-response heuristic)，被使用在動態調整過程有關學習文獻適合在賽局理論方面處理廣泛的三項之一，玩家選擇策略(行動)表示對上期的觀察歷史的最好的回應。最好回應調整動態特別適合模組化公平代理人在尋求多樣化文章，有兩原因︰首先，尋求多樣化是一個non-zero-order process，並且它允許歷史在模型裡影響當今的決定。第二，它反映出身分代理人的選擇不大可能高度涉入， 並且公平代理人可能不能預期效率代理人的策略。
假設3：公平代理人在最佳回應調整的基礎上決定其策略。
因為尋求多樣化，透過定義，指在年輕開始並且重複選擇行為，直到一個人死，在有限重複賽局框架研究此問題是合乎邏輯的。所以
假設4：效率代理人與公平代理人在每一個階段都是同步進行的，而且賽局的重複是有限的。
有限重複賽局的子賽局的完美報酬(outcome) 與此階段的均衡解同時發生，如果此階段的均衡解是唯一的。
定理1：一個消費者在兩個行為代理人之間尋求多樣性，假設且只有p介於B1與B2之間；選擇行為代理人1的可能性是
(3)
當

則

選擇身份代理人1的可能性是
(4)
而 是在先前歷史中，選擇行為代理人1被觀察的可能性，這裡的歷史被定義為代理人所記得的（或者它們所在意的）之前n個階段，因此， 為方法n的重複次數（注意，n可能是個別的特性）。（其驗證請見附錄）
在尋求多樣化賽局均衡背後觀察如下︰雖然公平代理人跟隨最好回應的調整(方程式4)，效率代理人預期這個策略。如果效率代理人保持一貫均衡策略(方程式3)，不管公平代理人的行動，在一些重複的賽局後迅速收斂到均衡。
Thm1也說明人將尋求多樣化的條件；用現有的質化文章理論這樣的觀察是不可能的。它更為尋求多樣化在內心因素提供了一個一致性的理論解釋。
實證研究
為了檢驗這模型的正確性，且更重要的是提供實證的支持，我做了一個小型的實證研究，來測試定理1(Theorem 1)中所設的情況是否可以很健全地來預測一個人在實際上是不是真的會尋求多樣化，這和之前建立在選擇歷程(choice history)基礎下所做的尋求多樣化(variety-seeking)選擇預測研究是不一樣的。一個好的預測績效在於尋求多樣化可以被每個人心中不同自我間的交互作用所解釋。
在一所美國大學學生訪談當基礎下，挑選了兩個尋求多樣化案例。每個案例包含兩個身份代理人(identity agents)，且決策包含了兩種行為間的選擇。第一個案例是「午餐要吃什麼」，其中包含了兩個身份代理人(吃得健康vs吃得美味)以及兩個主要行為代理人(behavior agents)(沙拉vs漢堡)。第二個案例是「要看什麼電影節目」，其中包含兩個身份代理人(輕鬆好笑vs勵志有益)以及兩個行為代理人(喜劇/動作片vs劇情片)。
在每一個案例中，受訪者會被要求回答七個問題。前面六個問題是用來取得定理1中尋求多樣化情況的六個參數。利用直接給予問題等級來獲得四個不同的報酬(payoffs)(umn)(例如：當你心裡想要給自己身體健康的食物時，對於你會選擇沙拉的快樂程度給予等級)。參數p和q是從公平代理人(equity agent)的最適策略中所取得(公式4)。受訪者在給定一個情況下(例如：心裡想要給身體健康的食物)，會被要求指出一個給定觀察值σb (例如：你在上星期七天中，吃了六次的沙拉) 的可能程度(σi)。每一個受訪者會被問兩次關於不同的σb值。注意這些問題只是單純的假設，以及詢問受訪者在某個特定心情下，他們可能會做什麼決策的可能性，並不管他們是否會做某項選擇。他們的回答並不代表他們真實行為。最後，兩對(σb ,σi)被代進公式4，來求得p和q。
最後一個問題，是有關於受訪者在過去三個月中真實生活的行為，他們會被問到過去是否總是忠於同一個選擇(例如：非尋求多樣化)，或是在某些時候會做出不同的選擇(尋求多樣化)。這個問題的回答代表真實的行為，用來和模型預測做對比。目標是來檢驗這些真實的行為可以被六個參數及定理1的預測程度。
在每一個案例中，每個受訪者不管他們的參數值是否滿足定理1的尋求多樣化情況，他們所實驗的內容都會被評估。這些被預測的行為，會和受訪者真實生活行為做比較。在表3中我們可以看到，A表關於食物選擇有61個有效樣本、B表關於影片選擇有57個有效樣本。在食物選擇實驗中，39個受訪者表示他們過去真實行為會尋求多樣化;而由這個模型預測出會有42個受訪者尋求多樣化，這其中有32個人過去行為確實是如此(卡方檢定，p=0.003)。在影片選擇實驗中，36個受訪者表示他們過去真實行為會尋求多樣化;而由這個模型預測出會有30個受訪者尋求多樣化，這其中有22個人過去行為確實是如此(卡方檢定，p=0.093)。
管理意涵
這些實證研究證明了這個精簡的內心賽局理論(TIG)模型是健全的，而且能獲得尋求多樣化行為的動態情況。這個新的發現代表著一些重要的管理意涵。當一個廠商要推出新產品時(或是一個市占率不大的廠商)，會想要激發多一些尋求多樣化的行為;而一個佔優勢的大廠商可能會想要防止尋求多樣化的行為。廠商也希望盡可能地將那些尋求多樣化的顧客，變成自己的忠實顧客。
在這個新的TIG模型基礎下，指出當一個顧客有可能去尋求多樣化時，管理者針對如何影響顧客選擇行為有更多具體特別的指導方針。在定理1中，廠商應該去檢驗這六個參數(umn，p和q)，以及去設計特別的行銷工具，來影響一個或更多的參數，像是讓更多(更少)的目標消費者在尋求多樣化的區域之內(之外)。
結論
這篇文章呈現了一個量化的個人決策模型(TIG)，而這模型是建立在許多質化理論的原則上：(1)每個人心中都有多個自我，(2)個人決策是由多個不同自我交互作用所得出的結果。這個新的TIG模型有兩個元素，第一個是每個不同自我都會被區分為四種不同的代理人類型，所有類型都有明確定義的特性、以及符合量化模型。第二個元素是有一個特定的數學公式，讓這個內心賽局理論可以建立成功。
TIG的優點在於他可以藉由嚴謹的模型，用一種更實際的架構去取得個人決策過程，他也可以讓之前只依據概念型架構與質化理論的研究者來探討決策問體。因此，這個量化理論可以去研究更複雜的問題以及提供更精確的觀點。
為了展示TIG的功用，我發展出一個尋求多樣化行為的精簡TIG模型，用來證明推測的尋求多樣化行為是能夠被解釋為TIG中的混合策略均衡狀態。這個模型可以提供精確的「消費者將會尋求多樣化」之情況假設。當這個觀點被實證研究的兩個尋求多樣化案例(午餐選擇及影片選擇)所檢驗，實證結果會發現，這個精簡的TIG模型可以獲得尋求多樣化行為的動態情況，以及提供那些有興趣改變目標消費者尋求多樣化行為之範圍的管理者有效的指導方針。
未來仍有許多領域可以研究，一個不錯的研究方向在於TIG的均衡狀態，他將會對「哪一個均衡觀念對TIG是最適當」的研究是有幫助的，甚至於會發展出一個對於個人決策最適當的新均衡觀念。此外，研究者應該在TIG中加入合作賽局，這個研究將會更廣泛地被適用。這個方法可能需要更多額外的假設，像是關於不同的代理人會如何達成均衡(關於主張2)，但和現在這TIG模型還是有所相關的。我也希望這個新的理論將會增添不同的行銷應用，在消費者決策上注入新的觀點。